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常见数据结构(2)---红黑树

2017-11-28

数据结构

R-B Tree,全称是Red-Black Tree,又称为“红黑树”,它一种特殊的二叉查找树。红黑树的每个节点上都有存储位表示节点的颜色,可以是红(Red)或黑(Black)。

#### 红黑树的特性

  • 每个节点或者是黑色或者是红色
  • 根节点是黑色
  • 每个叶子节点(NIL)是黑色[这里叶子节点,是指为空的叶子节点]
  • 如果一个节点是红色的,则它的子节点必须是黑色的
  • 从一个节点到该节点的子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点.(确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍。因而,红黑树是相对是接近平衡的二叉树。)

image

红黑树的应用比较广泛,主要是用它来存储有序的数据,它的时间复杂度是O(lgn),效率非常之高。例如TreeSet,TreeMap.

红黑树的java实现

红黑树的基本操作是添加,删除和旋转/在对红黑树进行添加或删除后,会用到旋转方法.因为添加或删除红黑树中的节点之后,红黑树就发生了变化,可能不满足以上五个条件了,因而需要旋转保持红黑树的特性.

基本定义


public class RBTree<T extends Comparable<T>> {

    private RBTNode<T> mRoot;    // 根结点

    private static final boolean RED   = false;
    private static final boolean BLACK = true;

    public class RBTNode<T extends Comparable<T>> {
        boolean color;        // 颜色
        T key;                // 关键字(键值)
        RBTNode<T> left;    // 左孩子
        RBTNode<T> right;    // 右孩子
        RBTNode<T> parent;    // 父结点

        public RBTNode(T key, boolean color, RBTNode<T> parent, RBTNode<T> left, RBTNode<T> right) {
            this.key = key;
            this.color = color;
            this.parent = parent;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }

    }

    ...
}


基本操作

  • 左旋

image


/* 
 * 对红黑树的节点(x)进行左旋转
 *
 * 左旋示意图(对节点x进行左旋):
 *      px                              px
 *     /                               /
 *    x                               y                
 *   /  \      --(左旋)-.           / \                #
 *  lx   y                          x  ry     
 *     /   \                       /  \
 *    ly   ry                     lx  ly  
 *
 *
 */
private void leftRotate(RBTNode<T> x) {
    // 设置x的右孩子为y
    RBTNode<T> y = x.right;

    // 将 “y的左孩子” 设为 “x的右孩子”;
    // 如果y的左孩子非空,将 “x” 设为 “y的左孩子的父亲”
    x.right = y.left;
    if (y.left != null)
        y.left.parent = x;

    // 将 “x的父亲” 设为 “y的父亲”
    y.parent = x.parent;

    if (x.parent == null) {
        this.mRoot = y;            // 如果 “x的父亲” 是空节点,则将y设为根节点
    } else {
        if (x.parent.left == x)
            x.parent.left = y;    // 如果 x是它父节点的左孩子,则将y设为“x的父节点的左孩子”
        else
            x.parent.right = y;    // 如果 x是它父节点的右孩子,则将y设为“x的父节点的右孩子”
    }
    
    // 将 “x” 设为 “y的左孩子”
    y.left = x;
    // 将 “x的父节点” 设为 “y”
    x.parent = y;
}



image

  • 右旋

image

对y进行左旋,意味着”将y变成一个右节点”。


/* 
 * 对红黑树的节点(y)进行右旋转
 *
 * 右旋示意图(对节点y进行左右旋):
 *            py                               py
 *           /                                /
 *          y                                x                  
 *         /  \      --(右旋)-.            /  \                     #
 *        x   ry                           lx   y  
 *       / \                                   / \                   #
 *      lx  rx                                rx  ry
 * 
 */
private void rightRotate(RBTNode<T> y) {
    // 设置x是当前节点的左孩子。
    RBTNode<T> x = y.left;

    // 将 “x的右孩子” 设为 “y的左孩子”;
    // 如果"x的右孩子"不为空的话,将 “y” 设为 “x的右孩子的父亲”
    y.left = x.right;
    if (x.right != null)
        x.right.parent = y;

    // 将 “y的父亲” 设为 “x的父亲”
    x.parent = y.parent;

    if (y.parent == null) {
        this.mRoot = x;            // 如果 “y的父亲” 是空节点,则将x设为根节点
    } else {
        if (y == y.parent.right)
            y.parent.right = x;    // 如果 y是它父节点的右孩子,则将x设为“y的父节点的右孩子”
        else
            y.parent.left = x;    // (y是它父节点的左孩子) 将x设为“x的父节点的左孩子”
    }

    // 将 “y” 设为 “x的右孩子”
    x.right = y;

    // 将 “y的父节点” 设为 “x”
    y.parent = x;
}



image

区分左旋和右旋

image

仔细观察上面”左旋”和”右旋”的示意图。我们能清晰的发现,它们是对称的。无论是左旋还是右旋,被旋转的树,在旋转前是二叉查找树,并且旋转之后仍然是一颗二叉查找树。

左旋示例图(以x为节点进行左旋):



---
                               z
   x                          /                  
  / \      --(左旋)-->       x
 y   z                      /
                           y

      

对x进行左旋,意味着,将“x的右孩子”设为“x的父亲节点”;即,将 x变成了一个左节点(x成了为z的左孩子)!。 因此,左旋中的“左”,意味着“被旋转的节点将变成一个左节点”。

右旋示例图(以x为节点进行右旋):


                                   

---
                              y
   x                            \                 
  / \      --(右旋)-->           x
 y   z                            \
                                   z


对x进行右旋,意味着,将“x的左孩子”设为“x的父亲节点”;即,将 x变成了一个右节点(x成了为y的右孩子)! 因此,右旋中的“右”,意味着“被旋转的节点将变成一个右节点”。

添加

将一个节点插入到红黑树中,需要执行的步骤:

  • 将红黑树当做一个二叉树,将节点插入

红黑树本身就是一颗二叉查找树,将节点插入后,该树任然是一颗二叉查找树.树的键值任然有序,此外,无论是左旋还是右旋,若旋转之前这棵树树二叉查找树,旋转之后它一定还是二叉查找树.接下来需要通过旋转和着色,让其成为一颗红黑树

  • 将插入的节点着色为”红色”.为什么是红色,因为这样不违背特性(5),然后只需要满足其他特性就可以了.再看其他条件:

特性(1):没有违背,初始化为红色

特性(2):没有改变根节点,所以第二条也没有违背

特性(3):这里的叶子节点是指的空叶子节点,插入非空节点并不会影响他们.

唯一可能违背的是特性(4),如果一个节点是红色的,则它的子节点必须是黑色的.


* 
 * 将结点插入到红黑树中
 *
 * 参数说明:
 *     node 插入的结点        // 对应《算法导论》中的node
 */
private void insert(RBTNode<T> node) {
    int cmp;
    RBTNode<T> y = null;
    RBTNode<T> x = this.mRoot;

    // 1. 将红黑树当作一颗二叉查找树,将节点添加到二叉查找树中。
    while (x != null) {
        y = x;
        cmp = node.key.compareTo(x.key);
        if (cmp < 0)
            x = x.left;
        else
            x = x.right;
    }

    node.parent = y;
    if (y!=null) {
        cmp = node.key.compareTo(y.key);
        if (cmp < 0)
            y.left = node;
        else
            y.right = node;
    } else {
        this.mRoot = node;
    }

    // 2. 设置节点的颜色为红色
    node.color = RED;

    // 3. 将它重新修正为一颗二叉查找树
    insertFixUp(node);
}

/* 
 * 新建结点(key),并将其插入到红黑树中
 *
 * 参数说明:
 *     key 插入结点的键值
 */
public void insert(T key) {
    RBTNode<T> node=new RBTNode<T>(key,BLACK,null,null,null);

    // 如果新建结点失败,则返回。
    if (node != null)
        insert(node);
}



修正操作的实现代码:

/*
 * 红黑树插入修正函数
 *
 * 在向红黑树中插入节点之后(失去平衡),再调用该函数;
 * 目的是将它重新塑造成一颗红黑树。
 *
 * 参数说明:
 *     node 插入的结点        // 对应《算法导论》中的z
 */
private void insertFixUp(RBTNode<T> node) {
    RBTNode<T> parent, gparent;

    // 若“父节点存在,并且父节点的颜色是红色”
    while (((parent = parentOf(node))!=null) && isRed(parent)) {
        gparent = parentOf(parent);

        //若“父节点”是“祖父节点的左孩子”
        if (parent == gparent.left) {
            // Case 1条件:叔叔节点是红色
            RBTNode<T> uncle = gparent.right;
            if ((uncle!=null) && isRed(uncle)) {
                setBlack(uncle);
                setBlack(parent);
                setRed(gparent);
                node = gparent;
                continue;
            }

            // Case 2条件:叔叔是黑色,且当前节点是右孩子
            if (parent.right == node) {
                RBTNode<T> tmp;
                leftRotate(parent);
                tmp = parent;
                parent = node;
                node = tmp;
            }

            // Case 3条件:叔叔是黑色,且当前节点是左孩子。
            setBlack(parent);
            setRed(gparent);
            rightRotate(gparent);
        } else {    //若“z的父节点”是“z的祖父节点的右孩子”
            // Case 1条件:叔叔节点是红色
            RBTNode<T> uncle = gparent.left;
            if ((uncle!=null) && isRed(uncle)) {
                setBlack(uncle);
                setBlack(parent);
                setRed(gparent);
                node = gparent;
                continue;
            }

            // Case 2条件:叔叔是黑色,且当前节点是左孩子
            if (parent.left == node) {
                RBTNode<T> tmp;
                rightRotate(parent);
                tmp = parent;
                parent = node;
                node = tmp;
            }

            // Case 3条件:叔叔是黑色,且当前节点是右孩子。
            setBlack(parent);
            setRed(gparent);
            leftRotate(gparent);
        }
    }

    // 将根节点设为黑色
    setBlack(this.mRoot);
}


删除操作

将红黑树内的某一个节点删除。需要执行的操作依次是:

  • 第一步将红黑树当做一颗二叉查找树,将节点删除.和删除常规二叉查找树中节点方法是一样的.

(1).被删除节点没有儿子,即为叶节点。那么,直接将该节点删除就OK了。

(2).被删除节点只有一个儿子。那么,直接删除该节点,并用该节点的唯一子节点顶替它的位置。

(3). 被删除节点有两个儿子。那么,先找出它的后继节点;然后把“它的后继节点的内容”复制给“该节点的内容”;之后,删除“它的后继节点”。在这里,后继节点相当于替身,在将后继节点的内容复制给”被删除节点”之后,再将后继节点删除。这样就巧妙的将问题转换为”删除后继节点”的情况了,下面就考虑后继节点。 在”被删除节点”有两个非空子节点的情况下,它的后继节点不可能是双子非空。既然”的后继节点”不可能双子都非空,就意味着”该节点的后继节点”要么没有儿子,要么只有一个儿子。若没有儿子,则按”情况① “进行处理;若只有一个儿子,则按”情况② “进行处理。

  • 旋转重新着色修正该树

    因为”第一步”中删除节点之后,可能会违背红黑树的特性。所以需要通过”旋转和重新着色”来修正该树,使之重新成为一棵红黑树。


/* 
 * 删除结点(node),并返回被删除的结点
 *
 * 参数说明:
 *     node 删除的结点
 */
private void remove(RBTNode<T> node) {
    RBTNode<T> child, parent;
    boolean color;

    // 被删除节点的"左右孩子都不为空"的情况。
    if ( (node.left!=null) && (node.right!=null) ) {
        // 被删节点的后继节点。(称为"取代节点")
        // 用它来取代"被删节点"的位置,然后再将"被删节点"去掉。
        RBTNode<T> replace = node;

        // 获取后继节点
        replace = replace.right;
        while (replace.left != null)
            replace = replace.left;

        // "node节点"不是根节点(只有根节点不存在父节点)
        if (parentOf(node)!=null) {
            if (parentOf(node).left == node)
                parentOf(node).left = replace;
            else
                parentOf(node).right = replace;
        } else {
            // "node节点"是根节点,更新根节点。
            this.mRoot = replace;
        }

        // child是"取代节点"的右孩子,也是需要"调整的节点"。
        // "取代节点"肯定不存在左孩子!因为它是一个后继节点。
        child = replace.right;
        parent = parentOf(replace);
        // 保存"取代节点"的颜色
        color = colorOf(replace);

        // "被删除节点"是"它的后继节点的父节点"
        if (parent == node) {
            parent = replace;
        } else {
            // child不为空
            if (child!=null)
                setParent(child, parent);
            parent.left = child;

            replace.right = node.right;
            setParent(node.right, replace);
        }

        replace.parent = node.parent;
        replace.color = node.color;
        replace.left = node.left;
        node.left.parent = replace;

        if (color == BLACK)
            removeFixUp(child, parent);

        node = null;
        return ;
    }

    if (node.left !=null) {
        child = node.left;
    } else {
        child = node.right;
    }

    parent = node.parent;
    // 保存"取代节点"的颜色
    color = node.color;

    if (child!=null)
        child.parent = parent;

    // "node节点"不是根节点
    if (parent!=null) {
        if (parent.left == node)
            parent.left = child;
        else
            parent.right = child;
    } else {
        this.mRoot = child;
    }

    if (color == BLACK)
        removeFixUp(child, parent);
    node = null;
}

/* 
 * 删除结点(z),并返回被删除的结点
 *
 * 参数说明:
 *     tree 红黑树的根结点
 *     z 删除的结点
 */
public void remove(T key) {
    RBTNode<T> node; 

    if ((node = search(mRoot, key)) != null)
        remove(node);
}




删除修正操作的实现代码(Java语言)

/*
 * 红黑树删除修正函数
 *
 * 在从红黑树中删除插入节点之后(红黑树失去平衡),再调用该函数;
 * 目的是将它重新塑造成一颗红黑树。
 *
 * 参数说明:
 *     node 待修正的节点
 */
private void removeFixUp(RBTNode<T> node, RBTNode<T> parent) {
    RBTNode<T> other;

    while ((node==null || isBlack(node)) && (node != this.mRoot)) {
        if (parent.left == node) {
            other = parent.right;
            if (isRed(other)) {
                // Case 1: x的兄弟w是红色的  
                setBlack(other);
                setRed(parent);
                leftRotate(parent);
                other = parent.right;
            }

            if ((other.left==null || isBlack(other.left)) &&
                (other.right==null || isBlack(other.right))) {
                // Case 2: x的兄弟w是黑色,且w的俩个孩子也都是黑色的  
                setRed(other);
                node = parent;
                parent = parentOf(node);
            } else {

                if (other.right==null || isBlack(other.right)) {
                    // Case 3: x的兄弟w是黑色的,并且w的左孩子是红色,右孩子为黑色。  
                    setBlack(other.left);
                    setRed(other);
                    rightRotate(other);
                    other = parent.right;
                }
                // Case 4: x的兄弟w是黑色的;并且w的右孩子是红色的,左孩子任意颜色。
                setColor(other, colorOf(parent));
                setBlack(parent);
                setBlack(other.right);
                leftRotate(parent);
                node = this.mRoot;
                break;
            }
        } else {

            other = parent.left;
            if (isRed(other)) {
                // Case 1: x的兄弟w是红色的  
                setBlack(other);
                setRed(parent);
                rightRotate(parent);
                other = parent.left;
            }

            if ((other.left==null || isBlack(other.left)) &&
                (other.right==null || isBlack(other.right))) {
                // Case 2: x的兄弟w是黑色,且w的俩个孩子也都是黑色的  
                setRed(other);
                node = parent;
                parent = parentOf(node);
            } else {

                if (other.left==null || isBlack(other.left)) {
                    // Case 3: x的兄弟w是黑色的,并且w的左孩子是红色,右孩子为黑色。  
                    setBlack(other.right);
                    setRed(other);
                    leftRotate(other);
                    other = parent.left;
                }

                // Case 4: x的兄弟w是黑色的;并且w的右孩子是红色的,左孩子任意颜色。
                setColor(other, colorOf(parent));
                setBlack(parent);
                setBlack(other.left);
                rightRotate(parent);
                node = this.mRoot;
                break;
            }
        }
    }

    if (node!=null)
        setBlack(node);
}




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